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目前数学推理内涵与分类

时间:2019-07-18 来源:《求知导刊》杂志 作者:admin 点击:

  [摘要]推理是数学的基本思维方式,也是数学的核心素养之一。通过收集大量与数学推理教学相关的文献资料,进行整理、比较和分析,从数学推理的内涵、数学推理的分类、数学推理的教育价值、数学推理的教学研究以及对数学推理的研究展望这五个方面,阐述了未来研究应该注重科学规范地教学合情推理、演绎推理,加强对合情推理与演绎推理教学的分析与研究,积极开展实证性研究和评价研究等。

  [关键词]数学推理;研究综述;演绎推理;归纳推理;类比推理;合情推理

  《义务教育数学课程标准(2011年版)》将数感、符号意识、空间观念、几何直观、数据分析观念、运算能力、推理能力、模型思想、应用意识、创新意识确定为十大核心概念。高中数学课程标准修订组将数学核心素养分解为数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析六个方面。林崇德教授认为,高中数学课标组对数学核心素养的解读也是小学数学核心素养的根本依据。因此,培养学生的数学推理将有效促进学生数学核心素养的发展,这已成为近几年数学教育界的一种共识。本文将对中国当前数学推理研究进行一次全面综述。

  一、数学推理的内涵

  推理是由已知判断(前提)推出未知判断(结论)。曹培英曾说:“推理是人们学习、工作和日常生活中经常进行的一种思维活动,历来是逻辑学、心理学以及认识论研究的重要对象。”逻辑学称之为“思维形式”,心理学更愿意将它看作“思维过程”,认识论则进一步认为推理仅是对人类抽象思维一个方面的“单纯模拟”,因为人的真实思维,总是多种心理因素的综合活动。“推理”是一种思维活动,“能力”是使某种活动顺利完成的个性心理特征,那么“推理能力”就可以解释为“顺利完成推理的个性心理特征”。吴宏在《推理能力表现:要素、水平与评价指标》中指出,数学推理是数学的基本思维方式,不能等同于纯演绎的逻辑推理。从逻辑学角度来看,数学推理分为论证推理和合情推理,结合方法论,观察、实验、联想、猜测、直观、推广、限定、抽象等科学发现手段也属于合情推理范畴。吴宏还进一步指出了一般推理和数学推理之间的关联:一般推理可能是模糊的、不精确的,会导致不明确的结果,从而出现有偏差的行为。

  二、数学推理的分类

  课程标准指出:“推理一般包括合情推理和演绎推理。”曹培英认为,推理具有多样性,可以根据不同的标准进行分类,比较常见的分类如图1所示。演绎推理是从一般到特殊的推理,即从一般性知识的前提推出特殊性结论,因而是必然性推理。演绎推理模式由三部分组成,叫作“三段论”。大前提是已知的一般原理,小前提是所研究的特殊情况,结论是根据一般原理,对特殊情况作出判断。有时为了简化,也可以省略大前提。王永春在此基础上将演绎推理细分为三段论、选言推理、假言推理和关系推理。合情推理是由已有事实出发,凭借经验和直觉,通过归纳和类比推断某些结果的推理形式。归纳推理是从特殊到一般的推理,即从特殊(个别)性知识的前提推出一般性结论。归纳推理可以根据前提所考察对象的范围,分为完全归纳推理和不完全归纳推理。完全归纳推理考察了某类事物的全部对象,无一例外,它也是必然推理;不完全归纳推理则仅仅考察了某类事物的部分对象,由此推出的一般结论,可能真,也可能假,它也是合情推理。在此基础上,还可以根据前提是否揭示了对象与其属性之间的因果联系,把不完全归纳推理细分为简单枚举归纳推理和科学归纳推理。简单枚举归纳推理是根据某类事物的部分对象有无某种属性,考察中没有遇到相反的情况,从而推出该类全部对象有无某种属性的归纳推理。科学归纳推理是指在考察(观察或实验等)某类事物的部分对象的基础上,通过分析找出原因,以此为依据,由点及面推出结论的推理方式。对简单枚举归纳推理而言,前提所考察的对象数量尽可能多一些、全面一些,有利于提高结论的可靠性;但对科学归纳推理而言,前提所考察的对象数量的多少对结论的可靠程度不起主要作用,只要是真正揭示了对象预期属性之间的因果联系,“知其然”且“知其所以然”,即使前提所考察的对象数量不多(甚至只有一个),也能得到较为可靠的结论。类比推理是由特殊到特殊的推理,即以两个或两类对象有部分属性相同为前提,推出它们的其他属性也有相同的结论,也称类推。不完全归纳推理和类比推理属于或然推理、似真推理,因为它们常常看似合情合理,却可能导致错误的结论。课程标准指出:“在数学里,常常依靠合情推理发现结论、探索证明思路,然后通过演绎推理证明结论。”值得一提的是,连四清、方运加对合情推理模式进行了辨析,他们指出:“在数学和数学教育的发展历程中,演绎推理和归纳推理的作用一直都是非常关键的。”数学研究表明,两者相互关联、融合一体地发挥作用,这是数学发现与创造的真谛。因而,数学教学过程中,教师强调对学生归纳推理和演绎推理能力的培养,确实是充分发挥数学育人功能的关键所在。更进一步,只有充分强调归纳推理和演绎推理的联系与综合,才能把培养学生灵活运用归纳和演绎推理解决数学问题的能力放在核心地位,才能高效地推动学生数学能力的发展。

  三、数学推理的教育价值

  殷娴在《小学阶段数学推理目标实施综述》中梳理了我国数学推理课程目标的演进历程,指出数学推理能力的培养一直是小学数学教材的主线,贯穿于各年级数学教学的始终。课程标准指出:“推理是数学的基本思维方式,也是人们学习和生活中经常使用的思维方式……在解决问题的过程中,两种推理功能不同,相辅相成。合情推理用于探索思路,发现结论;演绎推理用于证明结论。”推理不仅促进人的思维的发展,同时促进数学的发展、推动科学的发展。推理能力的发展对于个人与社会的发展都有着重要的意义,许多专家学者都给出了这样的论断。史宁中教授认为,数学具有逻辑性,从假设前提出发,通过推理得到数学的结果,推理促进了数学内部的发展。曹培英认为,推理的本质功能在于生成新结论、推出新知识,因而它是如此重要。我们可以这样说,没有推理,就没有今天的数学,同样可以说,没有推理,就没有真正的数学学习。王瑾认为,小学生通过归纳推理认知数学规律、形成数学概念,从而构建数学知识体系,又通过归纳推理解决问题。因此,归纳推理是小学数学中提高儿童数学素养,特别是培养创新精神的重要的内容。小学数学中的列举推理往往是在具体情境中,根据对象的外部特征作出一定结论的,解决“是什么”的问题。然而,科学归纳推理是通过发现对象与属性之间内在的本质联系来说明和解释规律,获得解释一般结论的内在依据,也就是解决“是什么”和“为什么”的问题,具有一定的抽象性。列举推理使学生“知其然”,而科学归纳推理不但使学生“知其然”且“知其所以然”,特别有助于学生对所学知识的实质理解,有利于学生养成科学分析的习惯。综上所述,无论是从个别现象出发抽象其共性总结出一般的结论的归纳推理,还是通过条件预测结果以及由结论探究成因这类从特殊到一般的推理,都能够发现新的“知识”,虽然这种“知识”具有或然性,却是数学创新的根本。数学直观、联想与发现并不是“学到的”,而是在伴随数学推理的过程中“生长而来的”。推理是学生数学学习和解决问题过程中不可或缺的基本思维方式,也是创新能力发展的根本。

  四、数学推理的教学研究

  课程标准指出:“推理能力的发展应贯穿于整个数学学习过程中。”徐斌艳在《数学推理活动在数学教育中的意义》中指出:“学生数学学习的基本过程是类比式的推理。”培养学生数学学习中的类比推理可以从明确数学类比物、鼓励学生探测问题结构、在活动中强调类比推理的过程等方面入手。曹培英在《跨越断层,走出误区:“数学课程标准”核心词的实践解读之七——推理能力(上)(下)》中提出,小学数学学习合情推理多于演绎推理、小学数学蕴含着很多有待发掘的演绎推理、“猜想→实验→说理”过程能使合情推理与演绎推理相辅相成;培养小学生的推理能力应从重视知识的理解、鼓励学生猜想、启发学生说理、充分利用直观、“数、形、事”结合、适当开展推理训练、培养良好的思维习惯、增强教师自身的素养八个方面入手。他在《小学数学合情推理的教学研究》中以实际的题例说明了怎样培养学生感悟合情推理的或然性以及怎样启发学生确认合情推理的结论。王瑾在《小学阶段数学归纳推理课程的实施研究》中指出:“归纳推理的学习应该是一个贯穿整个小学阶段的认知活动。”小学数学的归纳推理除了关注列举推理以外,还应该在适当的时期增加对科学归纳推理的重视。具体而言,根据儿童的认知发展特点,在小学低年级数学教学中应侧重于几何形象的、直观的、数量相对较少的数学对象,侧重于外部关系的内容;小学中年级要注意由直观形象的水平向抽象本质的水平过渡;小学高年级可以选择数量相对较多的、抽象的数学对象,侧重于内部关系的内容,同时注意讨论数学对象与属性之间的因果关系。他将小学归纳推理的教学大致划分为有关系的四个阶段:前归纳阶段、归纳推理的初级阶段、归纳推理的完善阶段、归纳推理的前演绎阶段。黄伟星在《小学数学教学中要处理好合情推理和演绎推理的关系》中提出,加强教学设计中的分析判断发展学生演绎推理能力,通过归纳和类比猜想探寻数学规律发展合情推理能力,通过正反两方证明数学规律,使合情推理与演绎推理相辅相成、两种推理能力协同发展,对激发学生的创新精神,培养学生的创造能力有很大帮助。王永春在《小学数学思想方法的梳理(四)》中对小学数学中推理思想的应用进行了初步的梳理,并通过实例介绍了一些推理能力教学的方法。对合情推理做过教学实践研究的还有贡红娣、李艳梅、王秋歌,梁仁东等;对演绎推理的教学展开分析与讨论的有郭玉侠、吉智深、刘霞非,吴敏、周正文,王俊等;对类比推理进行教学研究的有卞爱存、刘德宏、顾晓东、许盛文等;讨论合情推理与演绎推理教学关系的有魏常春、张德勤等。值得一提的是,在课程标准颁布的早期,曾有学者提出演绎推理能力的培养至关重要。如,徐斌艳、宁连华都在各自的文章中表达了斯滕伯格的观点:数学推理的三个方面——分析性推理、创造性推理和实践性推理同时起着重要作用。其中,分析性推理侧重于演绎式逻辑分析,创造性推理侧重于发现与猜想的活动过程,而实践性推理是指在真实、具体的问题情境中,推断、规划解决问题的方法。分析性推理依旧是数学推理的基本要素,因为分析性推理在某种程度上对创造性推理和实践性推理具有明显的推进和制约作用。进而指出,数学教学中对学生推理能力的培养要立足于演绎推理的培养,同时发展学生合情推理、实践性推理等能力。

  五、数学推理的研究展望

  通过文献研究,我们能够基本了解我国目前数学推理的研究概貌。可以知道,数学推理对数学教育和学生智力发展意义重大,是数学的核心素养,也是个人发展的基本素养。然而,数学教育理论研究方面和数学教学实践方面都存在着很多难题,使得推理能力的培养无法真正落实到数学教育教学实践中。笔者认为,我们的研究工作还应从以下方面展开。1.数学合情推理的教学应科学规范合情推理包括不完全归纳推理、类比推理、统计推理等。这些推理均具有或然性,它们的结论可能是正确的,也可能是错误的。然而,在实际教学中,由于合情推理的结论多数是人类已经形成的数学知识,学生所经历的只是一个“简化版”的“数学再创造”过程。学生在经历了较多这样的“结果一定正确”的合情推理之后,自然会对合情推理产生错误认知,即“合情推理的结论都是正确的”。同时,教师教学时也会因此弱化合情推理的过程,甚至出现“非逻辑的自由联想”或“想当然”地得出结论,等等。如何改变合情推理的学习过程与教学设计?怎样让学生认识到合情推理的或然性?应为学生提供怎样的合情推理的题例?合情推理的教学过程如何展开?如何做到科学规范?怎样让学生确认不完全归纳推理的结论是正确的?如何通过合情推理能力的培养提高学生的创新意识与创新能力?2.数学演绎推理的教学应予以重视在现行的课程标准引领下,我国的数学推理教学已由原先的强调逻辑推理,逐步转向对合情推理的重视,出现了一定的淡化逻辑推理的趋向。这一点,从研究合情推理和演绎推理的文献资料比例上就能看出。从课程标准关于“数学推理”的课程目标可知,第三学段中明确“体会通过合情推理探索数学结论,运用演绎推理加以证明的过程,在多种形式的数学活动中,发展合情推理与演绎推理”。事实上,演绎推理并不是到了第三学段才开始被学习与运用的,在第一、二学段也蕴含着很多有待发掘的演绎推理。研究数学推理,需要研究演绎推理的内涵,研究演绎推理的主要类型,研究蕴含演绎推理的例题与习题,研究小学数学学习中如何渗透演绎推理,研究初中数学学习中如何运用演绎推理证明的过程,研究演绎推理对促进学生逻辑思维能力发展的影响与作用……3.加强对合情推理与演绎推理教学的分析与研究合情推理与演绎推理在数学学习与解决问题的过程中是相辅相成、无法截然分开的。合情推理用于探索思路、发现结论,演绎推理用于证明结论。两者相结合的推理教学无疑是学生数学推理能力培养的关键。教师应着重研究两者结合的典型教学内容,研究数学教材中两者结合的数学推理在不同数学内容领域中的分布,研究这一数学推理内容的教学策略,研究数学推理与数学抽象、数学建模之间的关系,等等。4.开展实证性研究和评价研究关于数学推理的理论分析和教学实践的文章并不多,尤其是实践定量分析的文章非常少,而有关数学推理评价方面的文章更是无从搜索。因而,我们需要多进行数学推理的评价研究和实证性的量化研究。实证性的量化研究可以研究学生数学认知活动及解决问题中推理能力、数学推理能力形成的基本过程等的发展因素、数学推理发展与数学学习水平的相关性,等等。课程标准关于推理能力的要求在不同学段呈现不同的水平层次差异,然而因为当前的课程标准关于数学推理能力要求包含于数学思考表述中,表现在较多地关注数学思想方法和观念,对学生数学推理能力表现的标准是不具体的、笼统的,推理能力表现的变化性和差异性没有得到足够的重视。在研究数学推理的过程中,我们应对推理能力的发展提出更为明确的要求。如,怎样引导学生独立思考?如何才能比较清楚地表达自己思考的过程和结果?作为中小学生数学学习的核心能力,推理能力在不同年龄和学习水平上具体有哪些差异性?怎样的思考才是“有条理的思考”?发展合情推理和演绎推理的能力应达到怎样的程度?如何判断学生形成了某种推理能力,其表现指标和项目是否有差异?具体评价指标是什么?等等。

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